La vita di Kurt Gödel, genio che contribuì a minare i fondamenti della matematica

Tra paradossi e singolarità

no dei più antichi paradossi logici è quello di Epimenide cretese, il quale recita: "Questo enunciato è falso". Nota anche come "paradosso del mentitore", questa antinomia, insieme con quella del barbiere che rade tutti coloro che non si radono da soli (ma allora, lui si rade da solo oppure no?) si basa sulla nozione di autoriferimento. Kurt Gödel è ricordato per aver trovato un modo per esprimere queste paradossali asserzioni autoreferenziali nell'ambito dell'aritmetica. Gödel in un certo senso sta alla logica come Einstein sta alla fisica: nessun altro logico è stato tanto citato (a proposito e a sproposito), nessun altro teorema è assurto a emblema di un atteggiamento filosofico. La traduzione del paradosso di Epimenide, operata da Gödel, suona così: "Questa asserzione non è dimostrabile". O, meglio, nella sua versione logico-formale: "Per ogni formalizzazione coerente dell'aritmetica, esistono verità aritmetiche che non sono dimostrabili all'interno del sistema formale".

Che cosa ha di tanto rivoluzionario questo teorema? Per capirlo bisogna andare agli inizi del Novecento e al tentativo, perseguito da molti logici e matematici, di riprendere e concretizzare il sogno di Leibniz di creare una lingua artificiale, simbolica, in cui poter esprimere qualsiasi concetto e nella quale, attraverso un insieme specificato di regole di inferenza, poter affrontare qualsiasi ragionamento come se fosse un calcolo. Il logico Gottlob Frege, nei primi anni del secolo scorso, mise mano a questo progetto in un'opera imponente, che si riprometteva di fondare la matematica su basi assolutamente obiettive e certe, basandola sulla logica, ma fu fermato da un giovane studente inglese, Bertrand Russell, che trovò una contraddizione nel suo sistema. Il paradosso, che porta appunto il nome di Russell, si basa proprio sulla nozione di autoriferimento e minò le basi della costruzione fregeana.

La comunicazione di Russell a Frege, che apre la cosiddetta "crisi dei fondamenti della matematica", è del 1902. Quattro anni dopo nasceva a Brno, in Moravia - periferia dell'impero austro-ungarico - Kurt Gödel, che quella crisi porterà a compimento. La sua vita un po' borderline e i suoi risultati geniali sono raccontati in due recenti pubblicazioni: il fascicolo Kurt Gödel. Paradossi logici e verità matematica, di Gianbruno Guerrerio (della serie "I grandi della scienza", Le Scienze, 2001, 104 pagine, 6,2 euro) e il libro di John Casti e Werner De Pauli Gödel. L'eccentrica vita di un genio (Raffaello Cortina, 2001, 180 pagine, 17,04 euro).

Entrambe le opere inquadrano l'apprendistato di Gödel nell'effervescente Vienna già descritta da Musil, fertilissimo humus per le arti e la speculazione, nutrimento di musicisti come Arnold Schönberg, Anton von Webern e Alban Berg, pittori come Egon Schiele, Oskar Kokoschka e Gustav Klimt, filosofi come Ludwig Wittgenstein, polemisti come Karl Kraus e matematici come Philipp Furtwängler. Sono le sue lezioni sulla teoria dei numeri ad appassionare il giovane Gödel, arrivato a Vienna nel 1924 con l'intenzione di studiare fisica, al punto da fargli cambiare facoltà.

Già dal 1926 Gödel viene invitato a prendere parte alle riunioni del Circolo di Vienna, le cui discussioni vertevano essenzialmente sulle relazioni tra linguaggio, mondo e scienza, in particolare sullo statuto delle percezioni e sulla capacità umana di esprimerle. E' durante una riunione del Circolo che Gödel presenta il suo risultato, pubblicato nel 1931, noto come "teorema di incompletezza di Gödel": "All'interno di ogni sistema formale contenente la teoria dei numeri esistono proposizioni che il sistema non riesce a decidere, non riesce, cioè, a dare una dimostrazione né di esse né della loro negazione".

Questa clamorosa scoperta si manifestò subito come un dato fortemente limitativo circa le possibilità di una completa formalizzazione delle teorie matematiche. Dal risultato di Gödel vennero tratte, e a ragione, conseguenze filosofiche di tipo epistemologico sui limiti delle capacità cognitive umane, oltre che sul problema della meccanizzazione del pensiero e dei procedimenti di calcolo. Crollava così il sogno del grande matematico David Hilbert che nel 1928, in un congresso internazionale di matematica a Bologna, aveva lanciato una sfida alla comunità dei matematici: escogitare una macchina logica che potesse dimostrare tutte le verità matematiche e, nello stesso tempo, dimostrare che il ragionamento matematico è affidabile. L'autocoerenza del sistema è fondamentale: se il sistema è incoerente, allora è possibile dimostrare sia la verità sia la falsità della stessa proposizione.

Ma i risultati di Gödel non si fermarono al teorema di incompletezza. Soprattutto gli anni di Princeton furono dedicati alla fisica, suo primo amore, complice anche l'amicizia con Einstein, una delle poche persone che ormai accettava di frequentare. Gödel era emigrato negli Stati Uniti nel 1940, in fuga dall'Europa nazista, dopo un periglioso viaggio di un mese e mezzo via Berlino, Mosca, Vladivostok, Yokohama, San Francisco e, infine, Princeton. In quegli anni i suoi interessi si spostano progressivamente verso la filosofia, e le passeggiate con Einstein di ritorno dall'Institute for Advanced Study stimolarono la sua curiosità per i problemi posti dalla relatività, fino a proporre un singolare modello cosmologico. Nel 1949 pubblicò infatti una soluzione alle equazioni di campo di Einstein per la teoria della relatività generale, soluzione che considera l'intera massa dell'Universo come un fluido perfetto e incomprimibile e che lo condurrà all'indagine delle singolarità, curve spazio-temporali che si richiudono su se stesse all'infinito producendo un buco nero, anticipando così la "teoria delle singolarità" proposta da Stephen Hawking e Roger Penrose negli anni settanta. Ma il nome di Gödel rimane comunque indissolubilmente legato al teorema di incompletezza, il quale è stato anche utilizzato dai detrattori della possibilità di costruire un'intelligenza artificiale, argomentando, come ha fatto il filosofo di Oxford John Lucas nel 1961, che, poiché esistono verità aritmetiche che non possono essere dimostrate da una macchina, le capacità della mente umana devono per forza trascendere quelle di qualunque macchina.

La ricerca di un quadro razionale complessivo della realtà fu comunque il leit-motiv degli studi gödeliani, ricerca che lo portò negli ultimi anni della sua vita sia a lavorare sulla dimostrazione corretta della prova ontologica dell'esistenza di Dio di Anselmo d'Aosta - fino ad arrivare alla dimostrazione dell'esistenza di un "Dio logico" - sia a cercare di emendare la costituzione degli Stati Uniti, dopo aver scoperto in essa un errore logico che avrebbe permesso l'instaurarsi di una dittatura.

Renata Tinini