FESTIVAL DELLA MATEMATICA

Caos e complessità

n principio era il caos
La possibilità che si possa prevedere con esattezza l'evoluzione nel tempo di un sistema in cui sono note tutte le forze agenti e le posizioni reciproche degli oggetti che lo compongono è ciò che gli scienziati chiamano determinismo. Da circa un secolo essi sanno che questa possibilità è irrealizzabile per la maggior parte dei sistemi a più oggetti in evoluzione. Esiste tutta una serie di fenomeni, detti caotici, per i quali previsioni di comportamento a lungo termine non sono possibili.
Per conoscere l'evoluzione di un sistema bisogna conoscerne le condizioni iniziali. Ma nessuna misura può avere una precisione assoluta: essa contiene sempre in sé un'incertezza. Sfortunatamente questa incertezza non rimane costante al passare del tempo e anzi non fa che aumentare.
I sistemi caotici presentano una grande "sensibilità alle condizioni iniziali": due situazioni di partenza molto simili (o che addirittura la precisione della nostra misura ci permette di considerare uguali) con il passare del tempo possono evolversi in modo molto differenziato. Da ciò consegue una forte irregolarità di comportamento. Tutto ciò che è veramente regolare è abbastanza prevedibile. Ma una grande sensibilità alle condizioni iniziali rende un sistema imprevedibile - dunque irregolare. Questo è quello che colloquialmente viene detto "effetto farfalla": quando una farfalla batte le ali a Tokio, può scatenarsi un uragano in Florida un mese più tardi, o, detto altrimenti, un dettaglio che inizialmente appare trascurabile, alla lunga può avere effetti importanti.
Il caos non è solamente un comportamento complicato e senza motivo apparente, il concetto è ben più sottile. Il caos ha le apparenze della complicazione ma la spiegazione è semplice: esso segue leggi deterministiche anche se appare disordinato e imprevedibile.

Attrattori strani
Lo studio dei fenomeni caotici è stato reso possibile dall'introduzione, poco più di un secolo fa, di una geometrizzazione della meccanica ad opera del matematico francese Henri Poincaré. Egli inventò il concetto di "spazio delle fasi", uno spazio matematico immaginario che rappresenta tutti i movimenti possibili di un sistema dinamico dato. Si può rappresentare lo stato di un sistema con un punto in un piano in un sistema di coordinate (non necessariamente spaziali, si tratta delle grandezze da cui dipende l'evoluzione del sistema). Se facciamo scorrere il tempo, le coordinate assumono valori diversi e il punto nel piano si sposta. Un punto che si sposta descrive una curva e questa curva è una rappresentazione del futuro dell'intero sistema. In realtà basta guardare la curva per vedere le caratteristiche dell'evoluzione di questo sistema, senza dover per forza considerare in dettaglio i valori numerici delle coordinate. Se per esempio la curva tende ad un certo punto e poi si ferma lì, ciò significa che il sistema raggiunge un punto di equilibrio da cui non si sposta più. Se la curva si chiude, vuol dire che il sistema si evolve con un ritmo periodico, assumendo a intervalli definiti gli stessi valori. Se scegliamo valori iniziali diversi, otteniamo una nuova curva: in questo modo possiamo vedere tutti i comportamenti possibili del sistema.

(a) Un punto fisso P nello spazio delle fasi rappresenta uno stato stazionario. (b) Una curva chiusa rappresenta oscillazioni periodiche. Per semplicità qui lo spazio delle fasi è stato rappresentato bidimensionale.

Uno dei frutti dell'innovazione di Poincaré è che nello spazio delle fasi appaiono delle forme geometriche, dette attrattori, che permettono di visualizzare la dinamica del sistema. Facendo partire un sistema dinamico da un punto dato e considerando la sua evoluzione a lungo termine, si constata frequentemente che esso finisce per essere confinato in una certa regione dello spazio delle fasi. Per esempio un sistema che evolve verso un punto di equilibrio è un sistema con un attrattore e questo attrattore è il punto stesso. Un sistema che finisce per ripetere indefinitamente lo stesso ciclo, come può essere un pendolo che si muove senza attrito, ha un attrattore che è un anello. La dinamica dei sistemi a lungo termine è regolata dagli attrattori e la loro forma determina il tipo di dinamica che si produrrà.

La geometria del caos è piuttosto particolare: ad essa sono associati degli attrattori definiti strani, nell'intorno dei quali il movimento dettagliato non può essere determinato in anticipo. Questo è conseguenza dell'effetto farfalla. Pensate ad una pallina da ping-pong lanciata in un mare oleoso. Che la facciate cadere dall'alto o la lasciate andare sotto la superficie, essa si dirigerà verso la superficie. Una volta lì, seguirà una traiettoria complessa in mezzo alle onde, ma rimarrà in superficie, o per lo
meno molto vicino ad essa, per quanto complessa sia questa traiettoria. La superficie del mare può essere una buona immagine di un attrattore strano.

Sui sistemi caotici si possono fare molte previsioni: per esempio si può distinguere un sistema caotico da un sistema realmente casuale. Spesso si può prevedere la forma di un attrattore, forma che non è modificata dall'effetto farfalla.

Determinismo e caos
La scoperta del caos ha rivelato la confusione fondamentale che esiste in noi fra le leggi e i comportamenti che queste leggi generano - confusione fra le cause e i loro effetti. Pensavamo che cause deterministe dovessero avere effetti regolari, ma ora vediamo che possono avere effetti molto irregolari, che possono essere confusi con effetti aleatori. Pensavamo che cause semplici producessero effetti semplici (e implicitamente che cause complesse avessero effetti complessi) ma ora sappiamo che cause semplici possono avere effetti complessi. Comprendiamo che conoscere le leggi e essere capaci di prevedere il futuro sono due cose diverse.

Questi risultati hanno trovato applicazioni in molteplici studi, i più noti dei quali riguardano la meteorologia e le previsioni del tempo, ma si sono verificate interessanti applicazioni del caos al battito cardiaco, alle onde elettroencefalografiche, alla dinamica delle popolazioni, al campo magnetico terrestre, alla traiettoria degli asteroidi del nostro sistema solare e dei satelliti artificiali, alle turbolenze intorno ad un sottomarino o un aereo, alla borsa e ai titoli finanziari…solo per fare alcuni esempi.

Mettere ordine nel caos
Negli ultimi decenni gli scienziati stanno studiando come "metter ordine" nel caos. I risultati indicano che il caos è quantificabile in modo preciso, esprimibile addirittura mediante un numero intero. Esiste pertanto una ben determinata gerarchia nel comportamento caotico: più è grande questo intero, più il caos del sistema è marcato. In secondo luogo hanno dimostrato anche sperimentalmente che il passaggio dall'ordine al caos avviene gradualmente per di più seguendo uno scenario invariabile, le cui singole tappe sono qualitativamente le stesse per i sistemi dinamici più disparati. L'analisi dettagliata di tale passaggio è il risultato di una felice sinergia di azione fra una profonda teoria matematica (la teoria KAM) ed i moderni metodi numerici e computazionali.
Oggi si ritiene che il caos, ancorché innescato da un'azione esterna (come la variazione delle condizioni iniziali), nasca in realtà dal sistema stesso: ordine e caos sono indissolubilmente legati e costituiscono due diverse condizioni di un soggetto (il sistema dinamico) in continua evoluzione.

Semplicità e complessità
Il caos ci ha insegnato che sistemi che obbediscono a regole semplici possono avere comportamenti complicati. Eppure per molti aspetti il mondo ci appare semplice. Questa semplicità tende a sparire quando si esaminano le cose in profondità, ma in superficie tuttavia esiste. Per non correre il rischio, nel procedere dell'investigazione scientifica, di perdere di vista questa semplicità, recentemente si sta facendo strada un approccio diverso ai fenomeni naturali: la "teoria della complessità". Più che di un modello scientifico vero e proprio si tratta soprattutto di una filosofia che investe il modo di studiare i fenomeni in campi delle scienze molto vari, come ad esempio la teoria dell'informazione, la biologia o le scienze sociali.
Complessità può essere definita in generale come la proprietà di un oggetto che contenga informazioni difficili da ottenere. Questa definizione si declina in modi diversi nelle varie applicazioni, ma l'idea che sta alla base della teoria della complessità è che, a grandi scale, da interazioni complesse di un gran numero di componenti emergono concetti semplici. Questa idea scaturisce dalla constatazione che molti sistemi disordinati fuori dall'equilibrio possono auto-organizzarsi per dare origine a strutture ordinate. In questo senso si può dire che la complessità si situa in mezzo fra l'ordine e il disordine.

Paola Cuneo

Bibliografia

Ian Stewart, "Nature's numbers", Brockman Inc., 1995, capitoli VIII-IX; versione francese "La nature et les nombres", Hachette Littératures, 1998 David Ruelle "Caso e caos", Bollati Boringhieri, 1992 A. Vulpiani "Determinismo e caos", La Nuova Italia Scientifica, 1994 Peter H. Richter "Ordine e caos", Lettera Matematica n. 42, dicembre 2001 M. Mitchell Waldrop "Complexity: the emerging science at the edge of order and chaos", Simon and Schuster, 1992